위치–시간 그래프의 선이 언덕처럼 올라갔다가 내려오면, 물체도 언덕을 넘은 것처럼 보입니다. 하지만 이 그래프는 길의 모양을 그린 그림이 아닙니다. 가로축은 시간이 흐르는 방향이고, 세로축은 그때그때 물체가 어디에 있는지를 나타냅니다. 선이 높다는 것과 빨리 움직인다는 것도 다릅니다. 높은 곳에 그어진 수평선은 물체가 먼 위치에 가만히 있다는 뜻일 수 있습니다. 축의 의미를 먼저 나누고, 갔다가 잠시 쉬고 돌아오는 간단한 예를 따라가 보겠습니다.
선의 높이와 기울기는 다릅니다
위치를 말하려면 기준점이 필요합니다. 일직선 복도의 한 지점을0m로 정하고 오른쪽을 양의 방향으로 잡았다고 해 보겠습니다. 위치가+8m이면 그 기준점에서 오른쪽으로8m 떨어져 있다는 뜻입니다. 위치−2m는 왼쪽으로2m 떨어진 곳입니다. 음수라고 해서 길이가 음수이거나 물체가 사라진 것은 아닙니다. 위치의 부호는 우리가 정한 방향과 기준에 연결됩니다.[S1]
가로축에 시간 t를 초(s)로, 세로축에 위치 x를 미터(m)로 놓으면 점 하나에 두 정보가 담깁니다. 점(4s,8m)은4초가 됐을 때 위치가8m였다는 뜻입니다. 이 점만으로 그 순간의 속도까지 정할 수는 없습니다.8m에 막 도착한 중일 수도 있고, 거기서 이미 쉬고 있을 수도 있기 때문입니다. 주변 시간의 위치가 어떻게 달라지는지 함께 봐야 합니다.[S2]
반면 기울기는 위치가 바뀌는 빠르기입니다. 두 시각 사이 평균속도는 위치의 변화 Δx를 걸린 시간 Δt로 나눈 Δx/Δt입니다. 여기서 Δ는 끝값에서 처음값을 뺀 변화량입니다. 위치–시간 그래프에서 두 점을 잇는 선의 기울기와 같은 계산이며, 단위는m/s입니다. 높이는m이고 기울기는m/s이므로 서로 다른 양이라는 사실이 단위에도 드러납니다.[S1][S2]
같은8m 높이에 있어도 선이 올라가는 중인지, 평평한지, 내려오는 중인지에 따라 움직임이 다릅니다. 따라서 그래프에서 가장 높은 점을 무조건 가장 빠른 순간으로 고르면 안 됩니다. 위치가 얼마나 큰지와 위치가 얼마나 빠르게 변하는지는 별도의 질문입니다. 실제 지도와 그래프를 나란히 볼 때도 지도는 공간의 경로를, 이 그래프는 시간에 따른 좌표를 보여 준다는 차이가 중요합니다.
올라감·평평함·내려감을 읽습니다
시간이 흐르며 선이 올라가면 위치가 증가합니다. 앞에서 오른쪽을 양의 방향으로 정했으므로 오른쪽으로 움직이고 속도는 양수입니다. 선이 내려가면 위치가 줄어들어 왼쪽으로 움직이고 속도는 음수입니다. 선이 수평인 구간에서는 시간이 지나도 위치가 바뀌지 않아 속도가0입니다. 수평선이0m 위에 있든8m 위에 있든 정지라는 해석은 같습니다.[S2]
음의 속도는 느리다는 뜻이 아닙니다. 같은 직선에서+2m/s와−4m/s를 비교하면 두 물체의 이동 방향은 반대이고, 뒤쪽 물체의 속력은4m/s로 더 큽니다. 속도에는 방향을 나타내는 부호가 있지만, 순간속력은 속도의 크기입니다. 그래서 속도를 읽을 때는 기울기의 부호를, 빠르기를 비교할 때는 그 크기를 봅니다.[S2]
종이에 그려진 선의 각도만 보는 것도 주의가 필요합니다. 가로축 한 칸이1초인 그래프와10초인 그래프는 같은 각도로 그려져도 다른 속도를 나타낼 수 있습니다. 세로축의 눈금을 바꾸거나 그림을 가로로 늘려도 겉보기 각도가 달라집니다. 속도는 선이 얼마나 가팔라 보이는지가 아니라 실제 위치 차이를 실제 시간 차이로 나눈 값으로 비교합니다. 눈금과 단위를 읽는 일이 계산보다 먼저입니다.
갔다가 쉬고 돌아오는 예
다음은 움직임의 차이를 드러내기 위한 가정 예입니다. 물체가0초에0m에서 출발해4초에8m까지 일정하게 이동하고,6초까지 그곳에 머문 뒤8초에 출발점으로 일정하게 돌아옵니다. 각 구간을 직선으로 그리면 올라가는 선, 수평선, 내려가는 선이 차례로 이어집니다. 실제 운동의 출발·정지·방향 전환에 걸리는 짧은 시간은 생략한 근사입니다.[S2]
첫 구간에서는4초 동안 위치가0m에서8m로 바뀝니다. 속도는(8−0)/(4−0)=2m/s입니다. 가운데 구간에서는2초가 지나지만 위치는 계속8m이므로(8−8)/(6−4)=0m/s입니다. 마지막 구간에서는2초 동안8m에서0m로 돌아와(0−8)/(8−6)=−4m/s입니다. 그래프에서도 내려오는 선이 올라가는 선보다 더 가파릅니다.
| 시간 구간 | 위치 변화 | 구간 속도 | 움직임 |
|---|---|---|---|
| 0–4초 | 0m→8m | +2m/s | 양의 방향으로 이동 |
| 4–6초 | 8m→8m | 0m/s | 같은 위치에 머묾 |
| 6–8초 | 8m→0m | −4m/s | 출발점으로 돌아옴 |
이 예에서4초와6초는 서로 다른 순간이지만 위치는 같습니다. 물체가 멈춘 동안에도 시간은 흐르므로 그래프의 수평 구간에는 가로 길이가 있습니다. 또6초 뒤 내려오는 선은 아래쪽으로 떨어지는 실제 운동을 뜻하지 않습니다. 복도에서 왼쪽으로 돌아오는 운동을 위치가 감소하는 선으로 표현한 것입니다. 그래프의 위아래와 실제 공간의 위아래를 구분하면 그림이 훨씬 쉽게 읽힙니다.
구간의 모서리에서는 속도가 갑자기 바뀌는 형태로 그려져 있습니다. 현실의 물체가 이처럼 시간 없이 속도를 바꾸는 것은 아니며, 실제 자료에서는 전환 구간이 둥글게 이어질 수 있습니다. 여기서는 세 구간의 차이를 보기 위해 단순화했습니다. 모서리 한 점에 어느 구간의 속도를 그대로 붙이기보다, 그 직전과 직후의 움직임을 나누어 설명하는 편이 정확합니다.[S2]
돌아와도 이동거리는 남습니다
8초 뒤 물체는 출발점으로 돌아왔습니다. 전체 변위는 마지막 위치에서 처음 위치를 뺀0−0=0m입니다. 그렇다고 움직이지 않은 것은 아닙니다.8m를 갔다가8m를 돌아왔으므로 이동거리는8+8=16m입니다. 변위는 처음과 끝을 비교하고, 이동거리는 실제로 지나온 경로의 길이를 더합니다.[S1]
그래프에서는 세 구간이 각각 한 방향으로 움직이거나 멈추므로 위치 변화의 크기를 더하면 이동거리를 얻습니다. |8−0|+|8−8|+|0−8|=16m입니다. 돌아오는 구간의 변화량은−8m지만, 경로의 길이를 더할 때는8m로 넣습니다. 부호를 그대로 합하면 변위가 되고 크기를 합하면 이 예의 이동거리가 됩니다. 두 계산을 같은 것으로 처리하면 왕복의 정보를 잃습니다.
전체 평균속도는 변위/총시간이므로0/8=0m/s입니다. 전체 평균속력은 이동거리/총시간이므로16/8=2m/s입니다. 중간에 쉬었던2초도 시작부터 끝까지의 총시간에 포함합니다. 평균속력이 필요하다는 이유로 휴식 시간을 빼면 이동 중인 시간만 따로 평균 낸 다른 값이 됩니다. 무엇을 평균 내는지 먼저 정해야 합니다.[S1][S2]
평균속도0m/s는 전체8초 동안 위치의 순변화가 없었다는 뜻입니다. 모든 순간의 속도가0이었다는 뜻이 아닙니다. 실제로 처음에는+2m/s, 나중에는−4m/s였고 중간에만 멈춰 있었습니다. 처음과 끝을 잇는 직선의 기울기가 전체 평균속도인 반면, 그 사이의 선에는 왕복과 휴식이 남아 있습니다. 평균 한 숫자가 움직임의 모든 내용을 대신하지 못하는 이유입니다.[S2]
곡선에서는 한 점의 방향을 봅니다
위치–시간 그래프가 매끄러운 곡선이면 속도도 시간에 따라 달라질 수 있습니다. 서로 떨어진 두 점을 잇는 선은 그 구간의 평균속도를 나타냅니다. 한 시각의 순간속도는 그 점에서 곡선에 접하는 선의 기울기로 읽습니다. 작은 구간의 평균 기울기를 점점 좁혀 보는 생각과 연결됩니다. 미분식을 쓰지 않아도, 곡선이 그 점에서 어느 방향으로 얼마나 기울어지는지부터 이해할 수 있습니다.[S2]
예를 들어 위치가 증가하다가 매끄러운 꼭대기를 지나 감소하는 곡선에서는 꼭대기 순간의 접선이 수평일 수 있습니다. 그 순간 속도는0이고, 전후로 이동 방향이 바뀝니다. 그러나 수평 구간처럼 한동안 정지한 것과는 다릅니다. 한 점에서 기울기가0인 경우와 일정한 시간 구간에서 위치가 유지되는 경우를 구분해야 합니다. 똑같이 ‘멈췄다’고 말해도 지속 시간이 다를 수 있습니다.[S2]
그래프가0m를 지난다는 사실도 정지를 뜻하지 않습니다.0m는 선택한 기준점이고, 그곳을 빠르게 지나갈 수도 있습니다. 높이0은 위치의 정보이며, 기울기0은 속도의 정보입니다. 이 두 가지를 분리하면 높은 곳의 정지와 기준점 통과, 왕복 후 평균속도0을 같은 그림에서 모순 없이 읽을 수 있습니다. 위치–시간 그래프는 움직임을 선 하나로 압축한 표현이지만, 축과 구간을 풀어 읽으면 그 안의 사건은 다시 드러납니다.
